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Análise combinatória: como é feita?

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Aquilo que chama-se de análise combinatória, na matemática, é um exercício puro de lógica matemática. Para muitas pessoas, trata-se de um dos conteúdos mais curiosos, especialmente pelo uso de pontos de exclamação em sua sintaxe.

Na prática, a análise combinatória é a definição de possibilidades dentro de um conjunto de características matemáticas. Seu objetivo, como o próprio nome indica, é analisar a quantidade de combinações possíveis dentre de um certo conjunto de elementos.

A intenção, neste artigo, não é ensinar o leitor a fazer cálculos de análises combinatórias, mas explicar os diferentes conteúdos tratados pela análise combinatória. Suas áreas de estudo são significativamente variadas, envolvendo análise fatorial, permutações – simples e com repetição, arranjos e combinação. Cada uma destas áreas apresenta alguns critérios e conjuntos de regras próprias, necessárias para a consolidação de análises com diferentes objetivos.

Entenda o que é cada um destes tópicos da análise combinatória:

Princípio fundamental da contagem

O princípio fundamental da contagem é a área responsável por determinar a quantidade total de possibilidades surgidas a partir de certas circunstâncias. É o caso, por exemplo de um aluno que precisa levar um doce para sua aula no dia seguinte, para um lanche coletivo.

Este aluno está indeciso entre quatro receitas distintas de docê (um bolo, cookies, docinhos ou cupcakes), e possui opção de chocolate, baunilha ou morango para qualquer uma das quatro receitas.

O princípio fundamental da contagem, neste cálculo, determina a quantidade total de opções para este aluno calculando a quantidade de sabores multiplicada pelo número de receitas. Neste caso, por óbvio, o aluno teria um total de 12 opções para escolher exatamente o que levar.

Fatorial

Fatorial é muito lembrado na matemática do ensino médio por incluir o famoso ponto de exclamação nos cálculos. Trata-se do cálculo de multiplicação de um número por ele vezes ele menos um em relação ao elemento anterior.

Embora pareça complicado, sua fórmula geral é:

n! = n . (n – 1) . (n – 2) . (n – 3) . … . 1!

No caso de quatro, por exemplo, isso representa

4! = 4 . 3. 2 . 1

Portanto, sabe-se que 4! = 24

Permutação simples

A permutação simples é a aplicação prática da fatoração. Trata-se da análise de resultados possíveis de uma certa configuração, onde as possibilidades de resultados, calculados a partir de permutação simples, é igual ao resultado de fatoração do número de elementos.

Permutação com repetição

A permutação com repetição é uma processo semelhante ao de permutação simples, mas há uma complicação: alguns dos elementos é repetido, o que gera resultados repetidos, que não podem ser considerados como mais de uma possibilidade. Neste caso, o cálculo não corresponde ao cálculo de fatoração, uma vez que é necessário descontar as repetições.

Arranjo simples

O arranjo simples é utilizado para determinar agrupamentos onde a posição definida para cada um dos elementos é distinta. É o caso de dizer que um grupo composto por A, B e C é diferente de um grupo composto por A, C e B, por qualquer que seja o motivo (a ordem representa um cargo em uma chapa eleitoral, por exemplo).

Neste caso, é necessário calcular os possíveis agrupamentos e a quantidade de possibilidade de organização da ordem dos elementos.

Combinação simples

Combinação simples, por fim, é um método semelhante ao arranjo simples, mas com alguns diferenciais. Neste caso, não há elementos externos às possibilidades de agrupamento. Em um arranjo simples, calcula-se a possibilidade de grupos de três pessoas, em que a ordem os elementos importa, dentro de um universo de cinco pessoas, por exemplo.

Já na combinação simples, só se pode calcular a ordem dos elementos, tendo como pressuposto que todos os elementos dados naquele universo participam do agrupamento a ser ordenado. Neste caso, calcula-se – seguindo o exemplo anterior – as possibilidade de agrupamentos de três pessoas, em que a ordem dos elementos importa, dentro de um universo de três pessoas.


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