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O que são produtos notáveis?

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Produtos notáveis geralmente geram frio na barriga de boa parte dos estudantes. A verdade, no entanto, é que eles facilitam uma série de cálculos, podendo tornar-se aliados poderosos na resolução de exercícios, além de facilitar o aprendizado.

Os produtos notáveis, mesmo que sem este nome, eram utilizados desde a Grécia Antiga por filósofos e matemáticos, de modo a facilitar a resolução de problemas. Pitágoras e seus seguidores eram especialmente conhecidos pelo uso de produtos notáveis.

Se uma solução matemática é utilizada por tanto tempo para facilitar o aprendizado, certamente pode ser útil para você, certo?

Confira o que são os produtos notáveis e os casos mais comuns nos quais estes polinômios são utilizados:

O que são produtos notáveis?

Produtos notáveis são, na prática, polinômios mais comuns em operações algébricas. São expressões constantemente notadas nestas operações – de onde surge seu próprio nome de produtos notáveis.

No ensino médio, utiliza-se a expressão “Produtos Notáveis” sobretudo para três casos de polinômios frequentes. São estes casos:

O quadrado da soma de dois termos

O primeiro caso é o quadrado da soma de dois termos. Essa situação pode ser matematicamente expressa por:

(a + b)2

Toda vez que este caso aparece em uma expressão algébrica, é inevitável que seu resultado seja:

a2 + 2 . a . b + b2

Saber, portanto, que (a + b)2 = a2 + 2 . a . b + b2 é o primeiro tipo de produto notável. O exemplo auxilia na exemplificação, ainda, da utilidade destes produtos notáveis: saber disso poupa o estudante a fazer todo o processo de cálculo, sempre que encontrar este produto.

Em uma situação em que este produto notável é encontrado e em que a = 2, pode-se racionar o seguinte:

(2 + b)2 =

Sabe-se que o resultado deste produto notável é o quadrado de cada um dos termos mais 2 vezes o produto dos dois termos (neste caso 2.2b), como demonstrado acima. Portanto, o resultado é

4 + 4b + b2, sem a necessidade de realizar todo o processo de multiplicação. Este é o processo de substituição que você deverá fazer toda vez em que encontrar tal produto notável.

Quadrado da diferença de dois termos

O quadrado da diferença de dois termos é versão negativa do exemplo anterior. Significa dizer, portanto, que sua expressão algébrica é encontrada como:

(a – b)2

O resultado deste produto notável será sempre a constatação de que:

(a – b)2= a2 – 2ab + b2

A regra é basicamente a mesma do caso anterior: quadrado da diferença entre dois termos equivale à soma do quadrado de cada um dos termos, mais duas vezes o produto de um termo vezes o outro.

Produto da soma pela diferença de dois termos

Outro caso razoavelmente comum tem um nome um pouco confuso, mas sua expressão algébrica é visualmente muito compreensível:

(a + b) . (a – b)

Neste caso, a soma do produto de um termo vezes o outro substituição por um versão positiva e uma versão negativa que anulam-se. Por isso, em vez de 2ab no produto notável, o termo que contém “ab” é eliminado.

Desta forma, seu resultado permite dizer que:

(a + b) . (a – b) = a2 – b2


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