A física procura explicar para nós os fenômenos naturais através de uma análise isolada de cada um deles, e a mecânica clássica é uma das maneiras mais tradicionais de tentar compreender o mundo ao nosso redor. Cada sistema obedece aparentemente um conjuntos específico de leis que regem os fenômenos e que também mudam a configuração dos propriedades que compõem o sistema com o tempo.
Em alguns casos, é mais comum usar a Mecânica Newtoniana, através da utilização de um sistemas de coordenadas cartesianas. Mas naturalmente os fenômenos requerem recursos poderosos, que consigam ter uma aplicação mais precisa para analisar melhor os fenômenos. Por isso, se torna necessário escrever equações para cada um dos sistemas utilizando as coordenadas generalizadas.
Coordenadas catesianas
No sistema cartesiano, cada partícula tem três coordenadas. Mas para N partículas, pode ser utilizado um espaço conhecido por “espaço das configurações”, o qual tem 3N coordenadas. Desta maneira, ao invés de N corpos com três coordenadas, o sistema levará em consideração um corpo com 3N coordenadas generalizadas.
Por exemplo, um caso de 2 corpos e três eixos coordenados pode ser dito como sendo o caso de um corpo com seis coordenadas generalizadas, ditada pelo termo 3 N, dessa forma 3 N = 3.2 = 6, onde no caso N se refere ao número de corpos e 3 corresponde às três coordenadas que fazem parte do cartesiano.
O que acontece é que se acredita que seria mais complicado resolver um problema com seis coordenadas. Existem, no entanto, técnicas que podem ser usadas com a finalidade de eliminar algumas delas, pois não serão necessárias para que possamos alcançar o resultado do problema. O motivo para isso é porque existe algumas restrições ao movimento livre do sistema, os chamados vínculos que nos indicam esse fato.
Principais teorias da mecânica clássica
Levando em consideração as formulações que mais são utilizadas na Mecânica Clássica, as formulas que se destacam são de Lagrange, Hamilton e Jacobi. Estas formulações foram responsáveis por desenvolver novas metodologias que foram aplicadas nos estudos dos fenômenos físicos em um complexo sistema.
Essas mesmas formulações servem para tirar de campo as dificuldades na hora do cálculo vetorial de sistemas em movimento. Mas o que faz com que isso seja possível?
Em primeiro lugar é preciso que você faça uma mutação de coordenadas, transcrevendo o sistema fazendo uso de coordenadas contendo todas as variáveis na forma escalar.
Equações de vínculo
Para isso, você precisa escrever o sistema em função da energia. Outra coisa que é interessante que você faça, seria eliminar as variáveis indesejadas, escrevendo as equações de vínculo, que são responsáveis por eliminar as famosas forças de vínculo.
Ao tirar de vista os vínculos, é reduzido o número de graus de liberdade do sistema. Você terá S equações do movimento para todo tipo de sistema, de maneira que S = 3.n – P, onde N é o número de corpos que faz parte do sistema e P é o número exato de vínculos.
Exemplo
Um exemplo muito bom de equação de vínculo que é também bastante conhecido é a equação do círculo, que estabelece um limite ao movimento de um objeto a uma certa distância constante partida de um ponto fixo, distância essa dada pelo raio da circunferência.
No caso da Máquina de Atwood, seria o tamanho de um conector que não tem a capacidade de se estender, ligando as duas massas em questão. Para estas equações, já é possível eliminar uma variável em um dos eixos coordenados, por que o movimento, é possível que ele seja restrito a um plano.
Levando em consideração o plano xy, nós teríamos o objeto se movimentando no círculo representado pela equação abaixo:
x² + y² = R
z = 0
Isso define o uso de uma equação de Lagrange para este problema, por que transformando S = 3.n – P, veremos que S = 3.1 – 2, dessa forma, temos duas equações de vínculo.
E para a máquina de Atwood, iriam existir as seguintes restrições ao movimento livre feito pelo sistema:
z = 0
y1 + y2 = l
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