O desenvolvimento da mecânica clássica desenvolvida por Joseph-Louis de Lagrange relaciona a conservação de energia mecânica com a conservação do momento linear de um sistema dinâmico, sendo batizada de mecânica lagrangeana. É anterior às formulações das mecânicas hamiltoniana e newtoniana, sendo assim, considerada de fundamental importância a estas.
Em que consiste?
Pode-se definir a mecânica lagrangeana no estudo da trajetória de um sistema de partículas, obtida através da resolução das equações de Lagrange em uma de suas duas formas.
Há as chamadas equações de Lagrange de primeiro tipo, que tratam as restrições explicitamente como equações adicionais, geralmente utilizando os multiplicadores de Lagrange, e as equações de segundo tipo, que incorporam as restrições diretamente na escolha das coordenadas generalizadas.
Coordenadas generalizadas
A posição de uma partícula fica definida pelo seu raio vetor de posição R, cujos seus
componentes são as suas coordenadas cartesianas, genericamente nomeadas por x, y, e z.
Para especificar completamente a posição de um sistema de N partículas, serão necessários N raios vectores de posição, ou seja, 3N coordenadas. No entanto, é possível conhecer a posição de determinados sistemas a partir de um número de variáveis inferior a 3N.
Lagrangeana de um sistema de partículas
Na formulação da mecânica lagrangeana, cada sistema mecânico é caracterizado por
uma determinada função. No caso geral, esta função depende das coordenadas
generalizadas (q), das suas derivadas temporais (q) e também do tempo (t). Essa
função é chamada de função lagrangeana do sistema, sendo representada habitualmente por
L(q,q,t).
A lagrangeana pode ser escrita na forma:
L = T −U
onde T seria a soma das energias cinéticas das partículas do sistema e U é a sua energia potencial, onde se incluem os efeitos de todas as forças conservativas.
Conservar o momento Linear
A mecânica Lagrangeana (por possuir um sistema de coordenadas mais geral do que a mecânica newtoniana, por exemplo) consegue resolver problemas mais complexos e discrimina fenômenos que podem atingir velocidades relativísticas (velocidades muito altas) com igual precisão daqueles com velocidades mais baixas.
Equações de Lagrange
Dentre as equações de Lagrange, existem dois tipos.
Equações de primeiro Tipo: são aquelas que tratam das restrições como equações adicionais e que, para tanto, utilizam os multiplicadores de Lagrange, isto é, um método que permite encontrar máximos e mínimos de determinada função ou de determinadas variáveis submetidas a uma ou mais restrição. Dito de outra maneira, este tipo de equação serve para encontrar pontos fixos utilizando os multiplicadores de Lagrange.
Equações de segundo tipo: são aquelas que usam as restrições de maneira direta na escolha das coordenadas generalizadas. Coordenadas generalizadas são parâmetros numéricos utilizados para determinar a configuração de um sistema mecânico ou mecanismo com número finito de graus de liberdade (em estatística, definido como a dimensão da amostra menos o número de parâmetros estatísticos que serão avaliados na amostragem).
Essas são equações de movimento na dinâmica. Disso tudo, podemos tirar algumas deduções e definições de dinâmica encontradas na concepção de Lagrange. Sendo elas:
Trabalho e deslocamentos virtuais, segundo o qual um sistema partículas, em que cada um está sob a influência de um força aplicada (O, P, Q) e, devido a uma perturbação, as partícula sofrem um deslocamento virtual (δo, δp, δq), o sistema só estará em equilíbrio quando Oδo + Pδp + Qδq… = 0 for satisfeita;
Decomposição de forças: aqui, a proposição é que para cada elemento de massa m de determinado sistema, a força paralela é definida de em relação ao eixo das coordenadas cartesianas utilizadas, aos quais o movimento ocorre;
Utilização do princípio de Albert: quando relaciona-se determinado elemento de massa m sob a atuação de certa força, pode-se concluir que a soma dos momentos das forças é necessariamente igual a soma das forças atuantes (ou forças de aceleração) que atuam em cada elemento do sistema.
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